Cálculo da variância

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$${\sigma }^2=\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot f(x_i)-{\mu }^2$$

Vamos provar a equivalência acima para o cálculo da variância:

$$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}(x_i^2-2x_i\mu +{\mu }^2)\cdot P(x_i)$$ $$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-2x_i\mu \cdot P(x_i)+{\mu }^2\cdot P(x_i)$$ $$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-\sum _n^{i=0}2x_i\mu \cdot P(x_i)+\sum _n^{i=0}{\mu }^2\cdot P(x_i)$$ $$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-2\mu \cdot \sum _n^{i=0}{x}_i\cdot P(x_i)+{\mu }^2\cdot \sum _n^{i=0}P(x_i)$$ $$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-2\mu \cdot E[x]+{\mu }^2\cdot 1$$

Sendo $E[x]=\mu$, temos:

$$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-2\mu \cdot \mu +{\mu }^2$$ $$\sum _n^{i=0}(x_i-\mu {)}^2\cdot P(x_i)=\sum _n^{i=0}{x}_i^2\cdot P(x_i)-{\mu }^2$$

Referências

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