Simplex de duas fases - Exercício 2

Maximizar: $L = 4 x_{1} - x_{2}$

Sujeito a ⎩ ⎨ ⎧ 4 x_{1} + x_{2} \leq 11 2 x_{1} + 3 x_{2} \geq 3 x_{1} - x_{2} = - 1 x_{1}, x_{2} \geq 0

⎩ ⎨ ⎧ 4 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 11 3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{4} + a_{1} = 3 - x_{1} + x_{2} + a_{2} = 1

Portanto a solução mínima viável (SBV) é $(0, 0, 11, 0, 3, 1)$ . A variável artificial $a_{1}$ é 3, pois para a segunda equação $x_{4}$ deve ser 0 pelo fato de caso ele seja diferente de 0, $x_{4}$ teria seria um número negativo e não teria uma SBV.

L_{a} = a_{1} + a_{2}

Isolando as variáveis artificiais no sistema acima, temos:

{a_{1} = - 2 x_{1} - 3 x_{1} + x_{4} + 3 a_{2} = x_{1} - x_{2} + 1 ∴ a_{1} + a_{2} = - x_{1} - 4 x_{2} + x_{4} + 4

NOTE

$- 4$ é a soma das bases ( $3$ e $1$ ), porém é necessário passar essa soma para o outro lado para isolar a função artificial.

L_{a} = - x_{1} - 4 x_{2} + x_{4} = - 4

A primeira fase consiste em zerar a função alternativa $L_{a} = 0$ .

Base	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$b$	Transformações
$x_{3}$	4	1	1	0	0	0	11	$L_{1}$
$a_{1}$	2	3	0	-1	1	0	3	$L_{2}$
$a_{2}$	-1	1	0	0	0	1	1	$L_{3}$
$L$	4	-1	0	0	0	0	0	$L_{4}$
$L_{a}$	-1	-4	0	1	0	0	-4	$L_{5}$

$x_{3}$	5	0	1	0	0	-1	0	$L_{1} \leftarrow L 1 - L 3$
$a_{1}$	5	0	0	-1	1	-3	0	$L_{2} \leftarrow L_{2} - 3 L 3$
$x_{2}$	-1	1	0	0	0	1	1
$L$	3	0	0	0	0	1	1	$L 4 \leftarrow L_{4} + L_{3}$
$L_{a}$	-5	0	0	1	0	4	0	$L_{5} \leftarrow L_{5} + 4 L_{3}$

$x_{3}$	0	0	1	1	-1	2	10	$L_{1} \leftarrow L_{1} - 5 L_{2}$
$x_{1}$	1	0	0	$- \frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$- \frac{3}{5}$	0	$L_{2} \leftarrow \frac{L _{2}}{5}$
$x_{2}$	0	1	0	$- \frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	1	$L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$
$L$	0	0	0	$\frac{3}{5}$	$- \frac{3}{5}$	$\frac{14}{5}$	1	$L_{4} \leftarrow L_{4} - 3 L_{2}$
$L_{a}$	0	0	0	0	1	1	0	$L_{5} \leftarrow L_{5} + 5 L_{2}$

A seguir a segunda fase do Simplex e irá terminar quando a função alternativa $L$ não tenha mais coeficientes não positivos.

base	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$b$	Transformações
$x_{3}$	0	0	1	1	10	$L_{1}$
$x_{1}$	1	0	0	$- \frac{1}{5}$	0	$L_{2}$
$x_{2}$	0	1	0	$- \frac{1}{5}$	1	$L_{3}$
$L$	0	0	0	$\frac{3}{5}$	1	$L_{4}$

$x_{4}$	0	0	1	1	10
$x_{1}$	1	0	$\frac{1}{5}$	0	2	$L_{2} \leftarrow L_{2} + \frac{1}{5} L 1$
$x_{2}$	0	1	$\frac{1}{5}$	0	3	$L_{3} \leftarrow L_{3} + \frac{1}{5} L 1$
$L$	0	0	$- \frac{3}{5}$	0	-5	$L_{4} \leftarrow L 4 - \frac{3}{5} L 1$
Solução ótima: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ e $L = 5$

Notes

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