Método de Gauss

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O Método de Eliminação de Gauss é uma técnica amplamente utilizada para resolver sistemas de equações lineares. O objetivo principal desse método é transformar o sistema original em um sistema mais simples, de forma escalonada, em que podemos resolver facilmente as variáveis por meio de substituições sucessivas. Este processo envolve a manipulação das equações sem alterar suas soluções, permitindo uma resolução eficiente.

Considere o seguinte sistema linear de três equações com três incógnitas:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$$

O objetivo do método de Gauss é transformar esse sistema de forma que ele se torne um sistema escalonado como:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}^{\prime }{x}_1+a_{12}^{\prime }{x}_2+a_{13}^{\prime }{x}_3=b_1^{\prime }\\ a_{22}^{\prime }{x}_2+a_{23}^{\prime }{x}_3=b_2^{\prime }\\ a_{33}^{\prime }{x}_3=b_3^{\prime }\end{array}$$

Nesse sistema escalonado, podemos resolver as equações de baixo para cima (processo de substituição retroativa).

Passos do Método de Gauss

O método de Gauss consiste basicamente em duas fases:

Fase de Eliminação

Na fase de eliminação, o sistema é transformado em uma forma triangular superior, onde os coeficientes abaixo da diagonal principal são eliminados (transformados em zero). Isso é feito através de operações elementares nas linhas (ou seja, somas, subtrações e multiplicações de linhas entre si), mantendo o sistema equivalente.

Vamos aplicar esse conceito ao exemplo genérico:

• Primeiro, escolhemos a primeira equação e a usamos para eliminar $x_1$ das equações abaixo.

  Multiplicamos a primeira equação por um fator $m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}$ e subtraímos da segunda equação, de modo a eliminar o termo $x_1$ da segunda equação. Fazemos o mesmo para a terceira equação com $m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}$, eliminando também $x_1$ da terceira equação.

• Em seguida, usamos a segunda equação para eliminar $x_2$ das equações subsequentes. Para isso, multiplicamos a segunda equação por um fator $m_{32}=\frac{a_{32}^{\prime }}{a_{22}^{\prime }}$ e subtraímos da terceira equação.

Ao final desse processo, teremos uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Fase de Substituição Retroativa

Após a matriz estar na forma triangular superior, começamos a substituição retroativa, onde resolvemos as equações de baixo para cima:

• A última equação agora contém apenas $x_3$, e podemos resolvê-la diretamente.
• Em seguida, substituímos o valor de $x_3$ na equação anterior para encontrar $x_2$.
• Finalmente, substituímos $x_2$ e $x_3$ na primeira equação para encontrar $x_1$.

Esse processo continua até que todas as incógnitas estejam resolvidas.

Exemplo

Considere o sistema de equações:

$$\{\begin{array}{l}2x+y+z=5\\ 4x-6y=-2\\ -2x+7y+2z=9\end{array}$$

Passo 1: Eliminar $x$ da segunda e terceira equações:

• Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda: $4x-6y-(2x+y+z)=-2-5$ Resultando: $2x-7y-z=-7$

• Multiplicamos a primeira por (-1) e somamos com a terceira: $(-2x+7y+2z)+(2x+y+z)=9+5$ Resultando: $8y+3z=14$

Agora o sistema é:

$$\{\begin{array}{l}2x+y+z=5\\ 2x-7y-z=-7\\ 8y+3z=14\end{array}$$

Passo 2: Eliminar $x$ da segunda equação: Agora, podemos resolver o sistema triangular superior e encontrar os valores de (x, y, z).

Vantagens e Limitações

O método de Gauss é eficaz e utilizado extensivamente, especialmente para sistemas menores. No entanto, em sistemas grandes ou mal condicionados, ele pode ser sensível a erros de arredondamento. Além disso, é menos eficiente para matrizes esparsas (com muitos zeros), onde métodos iterativos podem ser mais adequados.

Referências

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Aula 2 - Resolução de sistemas lineares - Método de Gauss