Método dos Mínimos Quadrados

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O Método dos Mínimos Quadrados é uma técnica matemática usada para ajustar uma curva ou linha a um conjunto de dados experimentais, minimizando os erros entre os valores observados (dados) e os valores previstos pelo modelo.

Ideia principal

O método busca encontrar o modelo (como uma linha reta ou um polinômio) que minimiza a soma dos quadrados dos erros.

O erro, nesse caso, é a diferença entre o valor observado $y_i$ e o valor estimado $f(x_i)$ pelo modelo.

A função que mede o erro total é chamada de função objetivo:

$$S=\sum _{i=1}^n(y_i-f(x_i){)}^2,$$

onde:

• $y_i$ são os valores observados,
• $f(x_i)$ são os valores previstos pelo modelo,
• $n$ é o número de pontos de dados.

O objetivo do método é minimizar $S$ (Standard Error), ajustando os parâmetros do modelo $f(x)$.

Aplicação mais comum: Ajuste de uma linha reta

No caso de ajustar uma linha reta $f(x)=a+bx$, os coeficientes $a$ (inclinação) e $b$ (intercepto) são determinados para minimizar $S$:

$$S=\sum _{i=1}^n(y_i-(a{x}_i+b){)}^2.$$

Fórmulas para $a$ e $b$:

$$a=\frac{n\cdot {\sum }_{i=1}^n{x}_i\cdot y_i-{\sum }_{i=1}^n{x}_1\cdot {\sum }_{i=1}^n{y}_i}{n\cdot ({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2)-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2}$$ $$b=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\cdot {\sum }_{i=1}^n{y}_i-{\sum }_{i=1}^n{x}_i\cdot y_i\cdot {\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n\cdot ({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2)-({\sum }_{i=1}^n{x}_i)}$$

Exemplo

Considere os dados:

$$x=[1,2,3],y=[2,4,5].$$

1. Cálculos intermediários:

   • $n=3$,
   • $\sum x=6$, $\sum y=11$,
   • $\sum x^2=14$, $\sum xy=25$.

2. Calcular $b$:

   $$b=\frac{3(25)-(6)(11)}{3(14)-6^2}=\frac{75-66}{42-36}=\frac{9}{6}=\mathrm{1.5.}$$

3. Calcular $a$:

   $$a=\frac{11-(1.5)(6)}{3}=\frac{11-9}{3}=\mathrm{0.67.}$$

A equação da linha ajustada é:

$$f(x)=0.67+1.5x.$$

Referências

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Aula 10 - Método dos Mínimos Quadrados