Condicionais no Cálculo Lambda

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Summary

As condicionais no cálculo lambda são representados usando funções para “verdadeiro” ($T\equiv \lambda xy.x$) e “falso” ($F\equiv \lambda xy.y$), que selecionam o primeiro ou o segundo argumento, respectivamente, oferecendo uma base para lógica funcional.

No cálculo lambda, tudo é uma função — até mesmo conceitos como “verdadeiro” e “falso”, que usamos em condicionais (como “se-senão”).

Em linguagens de programação tradicionais, usamos palavras-chave como if, mas aqui, precisamos codificar essa lógica usando apenas abstrações lambda.

A ideia por trás disso é simples: representamos “verdadeiro” como uma função que escolhe o primeiro de dois argumentos, e “falso” como uma função que escolhe o segundo.

Definição

No cálculo lambda, os valores booleanos são definidos como funções de dois argumentos que selecionam entre eles:

• Verdadeiro ($T$):

  $$T\equiv \lambda xy.x$$

  Essa função toma dois argumentos, $x$ e $y$, e retorna $x$ — ou seja, “escolhe o primeiro”.

• Falso ($F$): Definido como:

  $$F\equiv \lambda xy.y$$

  Essa função toma dois argumentos, $x$ e $y$, e retorna $y$ — ou seja, “escolhe o segundo”.

Essas definições, conhecidas como codificação de Church para booleanos, transformam os valores lógicos em operadores de seleção, permitindo simular condicionais sem estruturas explícitas como if.

Exemplo

Exemplo 1: Aplicação de verdadeiro

Considere:

$$Tab=(\lambda xy.x)ab$$

• Substituímos $x$ por $a$ e $y$ por $b$: $$(\lambda xy.x)ab=a$$

Resultado: $Tab=a$. A função $T$ escolheu o primeiro argumento, como esperado para “verdadeiro”.

Exemplo 2: Aplicação de falso

Agora, com $F$:

$$Fab=(\lambda xy.y)ab$$

• Substituímos $x$ por $a$ e $y$ por $b$: $$(\lambda xy.y)ab=b$$

Resultado: $Fab=b$. A função $F$ escolheu o segundo argumento, como esperado para “falso”.

Exemplo 3: Simulando um “if”

Suponha que queremos simular “se verdadeiro, retorne 1, senão retorne 0”:

• Usamos $T$ como condição, $1=\lambda sz.s(z)$, e $0=\lambda sz.z$: $$T10=(\lambda xy.x)(\lambda sz.s(z))(\lambda sz.z)$$
• Resolvendo: retorna $\lambda sz.s(z)=1$.

Se usarmos $F$:

$$F10=(\lambda xy.y)(\lambda sz.s(z))(\lambda sz.z)=\lambda sz.z=0$$

Isso mostra como $T$ e $F$ funcionam como condicionais.

Referências

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Aula 1 - Cálculo Lambda