Conjunto de todas as palavras

---

Conjunto de todas as palavras (${\Sigma }^{\ast }$) é a união de todas as potências de $\Sigma$ para todo $n\ge 0$. Formalmente:

$${\Sigma }^{\ast }=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\Sigma }^n$$

Isso significa que ${\Sigma }^{\ast }$ inclui todas as palavras possíveis sobre $\Sigma$, de qualquer comprimento, incluindo a palavra vazia $ϵ$.

Em autômatos, ${\Sigma }^{\ast }$ é o espaço onde as linguagens vivem. Uma linguagem $L$ é um subconjunto de ${\Sigma }^{\ast }$, e autômatos são máquinas que decidem quais palavras de ${\Sigma }^{\ast }$ pertencem a $L$.

E a Potência de um alfabeto nos ajuda a analisar o comportamento dessas máquinas passo a passo, por exemplo, ao processar entradas de tamanho $n$.

NOTE

${\Sigma }^{+}$ é o conjunto de todas as palavras sobre o alfabeto $\Sigma$ exceto pela palavra vazia ($ϵ$). A definição formal disso é ${\Sigma }^{+}={\Sigma }^{\ast }-\{ϵ\}$.

Referências

---

Aula 2 - Alfabetos palavras e linguagens