Adição de matrizes

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Summary

A adição de matrizes consiste em somar elemento a elemento de duas matrizes de mesma ordem. É uma operação fundamental em álgebra linear e respeita propriedades como comutatividade, associatividade e a existência de elemento neutro.

Introdução

A adição de matrizes é uma das operações mais básicas e intuitivas na álgebra linear. Ela permite combinar informações de duas matrizes de maneira simples, desde que elas possuam as mesmas dimensões. Além disso, essa operação é a base para conceitos mais avançados, como operações envolvendo espaços vetoriais e transformações lineares.

Definição

Seja $A=[a_{ij}]$ e $B=[b_{ij}]$ duas matrizes de ordem $m\times n$, a soma de matrizes é definida como uma matriz $C=[c_{ij}]$, também de ordem $m\times n$, onde cada elemento $c_{ij}$ é dado por:
$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\forall i,j$

De forma compacta, escrevemos:
$C=A+B⟺c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\forall i,j$

Condição essencial: Para que a soma $A+B$ seja válida, as matrizes $A$ e $B$ devem ter a mesma ordem.

Propriedades da Adição de Matrizes

1. Comutatividade

A ordem das matrizes na soma não altera o resultado:
$A+B=B+A$

2. Associatividade

Ao somar três ou mais matrizes, a ordem das operações não importa:
$(A+B)+C=A+(B+C)$

3. Elemento Neutro

Existe uma matriz nula $O$ de mesma ordem que $A$, tal que:
$A+O=A$
onde $O=[0]$, e todos os seus elementos são iguais a zero.

4. Inverso Aditivo

Para cada matriz $A$, existe uma matriz $-A$ (com os elementos opostos de $A$), tal que:
$A+(-A)=O$
onde $(-A)=[-a_{ij}]$.

Propriedades

Comutatividade

Considere $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]$.
Ao calcular $A+B$ e $B+A$, temos:
$A+B=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right]$
$B+A=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}+a_{11}& b_{12}+a_{12}\\ b_{21}+a_{21}& b_{22}+a_{22}\end{array}\right]$
Como a adição de números escalares é comutativa ($a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}$), então $A+B=B+A$.

Associatividade

Para $A$, $B$ e $C$ de mesma ordem, verificamos que:
$(A+B)+C=A+(B+C)$
Como a soma de números escalares é associativa, a associatividade também é válida para a adição de matrizes.

Elemento Neutro

Seja $O=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$. Então:
$A+O=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+0& a_{12}+0\\ a_{21}+0& a_{22}+0\end{array}\right]=A$

Inverso Aditivo

Seja $-A=\left[\begin{array}{cc}-a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& -a_{22}\end{array}\right]$. Verificamos que:
$A+(-A)=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& -a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=O$

Exemplo

Exemplo 1: Soma Simples

Dadas as matrizes:
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$
A soma $C=A+B$ é:
$C=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$

Exemplo 2: Propriedade do Elemento Neutro

Seja $A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$ e a matriz nula $O=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$. Então:
$A+O=\left[\begin{array}{cc}2+0& 4+0\\ 6+0& 8+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]=A$

Referências

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Aula sobre Matrizes e Operações