Fecho Positivo

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Existe também o fecho positivo, denotado $L^{+}$, que exclui a palavra vazia do Fecho de Kleene:

$$L^{+}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{L}^n=L^1\cup L^2\cup L^3\cup \dots$$

A relação entre os dois é: $L^{\ast }=L^{+}\cup \{ϵ\}$.

Se $L$ contém $ϵ$, então $L^{+}=L^{\ast }$

Se $ϵ\in L$, então $L^1=L$ já contém $ϵ$, e todas as potências $L^n$ (para $n\ge 1$) incluirão $ϵ$ e todas as palavras geradas por concatenações de $L$.

$L^{+}=L^{\ast }\setminus L^0$ normalmente, mas como $ϵ\in L^{+}$, a exclusão de $L^0$ não faz diferença, pois $ϵ$ já está em $L^1$.

Referências

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Aula 2 - Alfabetos palavras e linguagens