Fecho de Kleene

---

O fecho de Kleene descreve o conjunto de todas as palavras possíveis geradas por zero ou mais concatenações dos elementos de uma linguagem $L$.

Ele é denotado por $L^{\ast }$ e representa a união de todas as potências finitas de $L$.

Formalmente, se $L$ é uma linguagem sobre um alfabeto $\Sigma$, o fecho de Kleene é definido como:

$$L^{\ast }=\bigcup _{n=0}^{\infty }{L}^n$$

Isso significa que $L^{\ast }=L^0\cup L^1\cup L^2\cup L^3\cup \dots$, onde cada $L^n$ é a linguagem resultante da concatenação de $L$ consigo mesma $n$ vezes.

NOTE

A palavra vazia $ϵ$ está sempre em $L^{\ast }$, independentemente de $L$ conter ou não $ϵ$, devido uma das propriedades do Fecho de Kleene.

Exemplo Prático

Considere o alfabeto $\Sigma =\{a\}$ e a linguagem $L=\{a\}$:

• $L^0=\{ϵ\}$,
• $L^1=\{a\}$,
• $L^2=\{aa\}$,
• $L^3=\{aaa\}$,
• e assim por diante.

Portanto:

$$L^{\ast }=\{ϵ,a,aa,aaa,aaaa,\dots \}$$

Nesse caso, $L^{\ast }$ representa todas as palavras possíveis sobre o alfabeto $\{a\}$, incluindo a palavra vazia e cadeias de qualquer comprimento formadas apenas por “a”.

Outro exemplo: Se $L=\{ab,aab\}$:

• $L^0=\{ϵ\}$,
• $L^1=\{ab,aab\}$,
• $L^2=\{abab,abaab,aabab,aabaab\}$,
• $L^3=L\cdot L^2$, e assim por diante.

Então, $L^{\ast }$ contém $ϵ$, todas as palavras de $L$, todas as combinações de duas palavras de $L$, e assim sucessivamente, formando um conjunto infinito.

Sua Importância em Autômatos

O fecho de Kleene é essencial na teoria de autômatos porque está diretamente relacionado às linguagens regulares. Uma linguagem é regular se pode ser expressa por uma expressão regular, e o operador estrela (*) nas expressões regulares corresponde exatamente ao fecho de Kleene.

Por exemplo, a expressão $a^{\ast }$ gera a linguagem $\{ϵ,a,aa,aaa,\dots \}$, que é reconhecida por um autômato finito.

Referências

---

Aula 2 - Alfabetos palavras e linguagens