Propriedades do Fecho de Kleene

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Propriedade: $L^{\ast }{L}^{\ast }=L^{\ast }$

$L^{\ast }$ já contém todas as palavras formadas por zero ou mais concatenações de $L$.

Concatenar $L^{\ast }$ com ele mesmo gera combinações que já estão em $L^{\ast }$, pois $L^{\ast }$ é fechado sob concatenação.

Exemplo

Se $L=\{a\}$, então $L^{\ast }=\{ϵ,a,aa,aaa,\dots \}$.

$L^{\ast }{L}^{\ast }=\{ϵϵ,ϵa,aϵ,aa,aaa,\dots \}=\{ϵ,a,aa,aaa,\dots \}=L^{\ast }$.

Propriedade: $L^{\ast \ast }=(L^{\ast }{)}^{\ast }=L^{\ast }$

Como $L^{\ast }$ já contém todas as palavras possíveis de zero ou mais concatenações de $L$, aplicar o fecho novamente não adiciona nada novo.

Exemplo

Para $L=\{a\}$, $L^{\ast }=\{ϵ,a,aa,\dots \}$, e $(L^{\ast }{)}^{\ast }=L^{\ast }$.

Propriedade: $L^{\ast }=\{ϵ\}\cup L{L}^{\ast }=\{ϵ\}\cup L^{\ast }L$

$L^{\ast }=L^0\cup L^1\cup L^2\cup \cdots =\{ϵ\}\cup (L\cdot L^{\ast })$, pois $L\cdot L^{\ast }=L^1\cup L^2\cup \dots$.

Similarmente, $L^{\ast }L=L^0\cdot L\cup L^1\cdot L\cup \dots$, mas como $L^{\ast }$ já é completo, isso cobre $L^{\ast }$.

Exemplo

Se $L=\{a\}$:

• $L{L}^{\ast }=\{a\}\{ϵ,a,aa,\dots \}=\{a,aa,aaa,\dots \}$,
• $\{ϵ\}\cup L{L}^{\ast }=\{ϵ,a,aa,aaa,\dots \}=L^{\ast }$.

Propriedade: ${\varnothing }^{\ast }=\{ϵ\}$

${\varnothing }^0=\{ϵ\}$, mas ${\varnothing }^1=\varnothing$, ${\varnothing }^2=\varnothing \cdot \varnothing =\varnothing$, e assim por diante. Logo, ${\varnothing }^{\ast }={\bigcup }_{n=0}^{\infty }{\varnothing }^n=\{ϵ\}\cup \varnothing =\{ϵ\}$.

Isso ocorre porque apenas $L^0$ contribui com algo ($\{ϵ\}$).

Referências

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Aula 2 - Alfabetos palavras e linguagens