Prova direta

---

A Teoria da Prova consistem em provar que $p\to q$ é sempre verdade, ou seja, supondo verdadeira uma hipótese $p$, queremos provar que a tese $q$ é verdade.

A afirmação $p\to q$ pode ser chamado de várias formas, como:

• Proposição: Uma afirmação ou sentença que pode ser verdadeira ou falsa.
• Lema: Um resultado auxiliar que é usado na prova de um teorema maior.
• Teorema: Uma afirmação que foi provada e é considerada verdadeira.
• Corolário: Uma consequência direta de um teorema já provado.

De forma geral, denominamos a asserção $p\to q$ como um teorema, a fim de evitar uma certa ambiguidade em relação ao uso de lema e teorema, por não haver uma distinção clara.

Existem algumas técnicas matemáticas fundamentais para comprovar uma afirmação $p\to q$, tais como:

• Prova direta
• Prova por contraposição
• Prova por redução ao absurdo (ou simplesmente prova por absurdo)
• Prova por indução

Prova direta

Na prova direta, assumimos como verdade a hipótese $p$ e vamos provar que $q$ também é verdade.

O termo c.q.d. é uma abreviação para “como queríamos demonstrar” e serve para finalizar uma prova. Outros símbolos comumente usado para isso são: q.e.d. (do latim, quod erat demonstrandum), $\square$ e $■$.

Exemplo 1:

Prove o seguinte teorema:

Teorema: “A soma de dois números ímpares é um número par.”

Prova:

Suponha que $n$ e $m$ sejam dois número ímpares. Então existem $r$ e $s$ $\in \mathbb{N}$ tais que $n=2r+1$ e $m=2s+1$. Assim, $n+m=2r+1+2s+1=2(r+s+1)$. Sendo $r+s+1=t$, então $n+m=2t\to \text{ eˊ par}$.

Exemplo 2:

Prova o seguinte teorema:

Teorema: “A soma de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar.”

Prova:

Suponha que $a$ e $b$ sejam, respectivamente, um número par e um ímpar. Então existem $x$ e $y$ $\in \mathbb{N}$ tais que $a=2x$ e $b=2y+1$. Assim, $a+b=2x+2y+1=2(x+y)+1$. Sendo $x+y=t$ então $a+b=2t+1\to \text{ eˊ ıˊmpar}■$.

Exemplo 3:

Prova o seguinte teorema:

Teorema: ”$p\leftrightarrow q$ é equivalente a $p\to q\wedge q\to p$.”

Prova:

$(p\leftrightarrow q)\to p\to q\wedge q\to p$

$p\to q\wedge q\to p\to p\leftrightarrow q$

Ida:

$$V(p\iff q)=V\text{ , Logo }V(p)=V(q)\{\begin{array}{l}V(p\to q)=V\\ V(q\to p)=V\end{array}\text{ enta˜o }V((p\to q)\wedge (q\to p))=V$$

Volta:

$$V((p\to q)\wedge (q\to p))=V\{\begin{array}{l}V(p\to q)=V-V(p)=V,V(q)=V\to V(p\leftrightarrow q)=V\\ V(q\to p)=V-V(p)=F,V(q)=F\to V(p\leftrightarrow q)=V\end{array}$$

c.q.d.

Referências

---