Prova direta §

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A Teoria da Prova consistem em provar que é sempre verdade, ou seja, supondo verdadeira uma hipótese , queremos provar que a tese é verdade.

A afirmação pode ser chamado de várias formas, como:

• Proposição: Uma afirmação ou sentença que pode ser verdadeira ou falsa.
• Lema: Um resultado auxiliar que é usado na prova de um teorema maior.
• Teorema: Uma afirmação que foi provada e é considerada verdadeira.
• Corolário: Uma consequência direta de um teorema já provado.

De forma geral, denominamos a asserção como um teorema, a fim de evitar uma certa ambiguidade em relação ao uso de lema e teorema, por não haver uma distinção clara.

Existem algumas técnicas matemáticas fundamentais para comprovar uma afirmação , tais como:

• Prova direta
• Prova por contraposição
• Prova por redução ao absurdo (ou simplesmente prova por absurdo)
• Prova por indução

Prova direta §

Na prova direta, assumimos como verdade a hipótese e vamos provar que também é verdade.

O termo c.q.d. é uma abreviação para “como queríamos demonstrar” e serve para finalizar uma prova. Outros símbolos comumente usado para isso são: q.e.d. (do latim, quod erat demonstrandum), e .

Exemplo 1:

Prove o seguinte teorema:

Teorema: “A soma de dois números ímpares é um número par.”

Prova:

Suponha que e sejam dois número ímpares. Então existem e tais que e . Assim, . Sendo , então .

Exemplo 2:

Prova o seguinte teorema:

Teorema: “A soma de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar.”

Prova:

Suponha que e sejam, respectivamente, um número par e um ímpar. Então existem e tais que e . Assim, . Sendo então .

Exemplo 3:

Prova o seguinte teorema:

Teorema: ” é equivalente a .”

Prova:

Ida:

Volta:

c.q.d.

Referências §

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