Método de Interpolação por Polinômios de Lagrange

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O Método de Interpolação por Polinômios de Lagrange é uma técnica usada para construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos conhecidos.

Ele é especialmente útil para aproximar funções ou resolver problemas em que temos valores discretos e desejamos encontrar uma relação geral entre eles.

Ideia principal

Dado um conjunto de $n+1$ pontos $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$, o método constrói um polinômio $P(x)$ de grau no máximo $n$ que satisfaz:

$$P(x_i)=y_i\text{para todos }i=0,1,\dots ,n.$$

Fórmula de Lagrange

O polinômio $P(x)$ é construído como uma soma ponderada de funções chamadas polinômios de base de Lagrange:

$$P(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i\cdot L_i(x),$$

onde $L_i(x)$ são os polinômios de base definidos por:

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

Onde:

• $L_i(x)$ é igual a 1 no ponto $x_i$ e 0 nos outros pontos $x_j$ ($j\ne i$).
• $y_i$ é o valor da função no ponto $x_i$.

Etapas do método

1. Identificar os pontos conhecidos $(x_i,y_i)$ pelos quais o polinômio interpolador deve passar.
2. Construir os polinômios de base $L_i(x)$ para cada ponto $i$.
3. Somar os produtos $y_i\cdot L_i(x)$ para obter o polinômio interpolador $P(x)$.

Exemplo

Considere os pontos $(1,2)$, $(2,3)$ e $(4,5)$. Queremos encontrar o polinômio $P(x)$:

1. Os polinômios de base $L_i(x)$ seriam:

   $$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)},L_1(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)},L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}.$$

2. O polinômio final será:

   $$P(x)=2\cdot L_0(x)+3\cdot L_1(x)+5\cdot L_2(x).$$

Referências

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Aula 8 - Interpolação e Polinômio de Lagrange