Método de Interpolação por Diferenças Divididas de Newton
O Método de Interpolação por Diferenças Divididas de Newton é uma técnica usada para construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos conhecidos
Ele é eficiente e organizado, especialmente para adicionar novos pontos ao problema sem precisar refazer cálculos anteriores.
Ideia principal
A interpolação por diferenças divididas usa uma fórmula recursiva para calcular os coeficientes de um polinômio de Newton. Esses coeficientes são baseados em diferenças divididas entre os valores
Fórmula do polinômio interpolador
O polinômio interpolador
onde
Utilizando a notação de diferenças divididas, podemos reescrever o n-ésimo Polinômio de Lagrange
Sendo esta conhecida como a fórmula de Diferenças Divididas de Newton.
Diferenças divididas
As diferenças divididas são definidas recursivamente:
- Para um único ponto:
. - Para dois pontos:
. - Para mais pontos:
.
Esses valores representam as inclinações médias entre os pontos, capturando como a função muda.
Como aplicar o método
-
Identificar os pontos
: Liste os pontos conhecidos que o polinômio deve interpolar. -
Montar a tabela de diferenças divididas: Calcule as diferenças divididas para os pontos dados.
-
Construir o polinômio
: Substitua os coeficientes de diferenças divididas na fórmula de Newton. 
Exemplo prático:
Considere os pontos
-
Tabela de diferenças divididas:
, , . , . .
-
Polinômio interpolador:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Vantagens:
- Fácil de adicionar novos pontos ao polinômio sem refazer cálculos anteriores.
- Mais eficiente que outros métodos em problemas com muitos pontos.
Limitações:
- Pode ser menos intuitivo que o método de Lagrange.
- Se os pontos forem muito próximos, erros numéricos podem ocorrer em cálculos de diferenças divididas.
O método é uma ferramenta poderosa para interpolação e é amplamente utilizado em ciências e engenharia por sua flexibilidade e eficiência.