Operador lógica OR no Cálculo Lambda

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Summary

O operador lógico “OU” (OR) no cálculo lambda, definido como $\vee \equiv \lambda xy.xTy$, utilizando os booleanos de Church $T$ e $F$.

No cálculo lambda, assim como vimos com o operador “E” (AND), o operador “OU” (OR) é codificado como uma função pura que opera sobre os booleanos $T$ (verdadeiro) e $F$ (falso).

A ideia do “OU” é simples: ele deve retornar “verdadeiro” se pelo menos um dos dois argumentos for verdadeiro, e “falso” apenas se ambos forem falsos.

Definição

O operador lógico “OU” (OR) no cálculo lambda é definido como:

$$\vee \equiv \lambda xy.xTy$$

Onde:

• $x$ e $y$ são booleanos no cálculo lambda ($T\equiv \lambda xy.x$ ou $F\equiv \lambda xy.y$),
• $T=\lambda xy.x$ (escolhe o primeiro argumento),
• $F=\lambda xy.y$ (escolhe o segundo argumento).

NOTE

Essa função usa $x$ como um “controlador”: se $x$ for verdadeiro, retorna $T$; se $x$ for falso, retorna o valor de $y$.

A expressão $\lambda xy.xTy$ funciona assim:

• $x$ é aplicado aos argumentos $T$ e $y$.
• Se $x=T$, então $TTy=T$ (escolhe $T$, verdadeiro).
• Se $x=F$, então $FTy=y$ (escolhe $y$, e o resultado depende de $y$).

Para transformar toda essa formalidade em forma mais visual e simples de interpretar isso e visualizar a função OR seria utilizando a tabela verdade abaixo:

Referência: Drawing 2025-03-03 10.40.11.excalidraw

Lemos essa imagem com a seguinte pergunta:

Visualizando operador OR na tabela verdade

Para confirmar que $\lambda xy.xTy$ corresponde ao “OU” lógico, vamos testar todas as combinações de $x$ e $y$ ($T$ ou $F$) e comparar com a tabela verdade do “OU”.

Tabela verdade do “OU” lógico:

$x$	$y$	$x\vee y$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

Agora, calculamos $\vee xy=(\lambda xy.xTy)xy$ para cada caso.

Caso 1: $x=T$, $y=T$

$$\vee TT=(\lambda xy.xTy)TT$$

• Substituímos $x$ por $T$: $$(\lambda y.TTy)T$$
• Substituímos $y$ por $T$: $$TTT=(\lambda xy.x)TT=T$$
• Resultado: $T$ (verdadeiro).

Caso 2: $x=T$, $y=F$

$$\vee TF=(\lambda xy.xTy)TF$$

• Substituímos $x$ por $T$: $$(\lambda y.TTy)F$$
• Substituímos $y$ por $F$: $$TTF=(\lambda xy.x)TF=T$$
• Resultado: $T$ (verdadeiro).

Caso 3: $x=F$, $y=T$

$$\vee FT=(\lambda xy.xTy)FT$$

• Substituímos $x$ por $F$: $$(\lambda y.FTy)T$$
• Substituímos $y$ por $T$: $$FTT=(\lambda xy.y)TT=T$$
• Resultado: $T$ (verdadeiro).

Caso 4: $x=F$, $y=F$

$$\vee FF=(\lambda xy.xTy)FF$$

• Substituímos $x$ por $F$: $$(\lambda y.FTy)F$$
• Substituímos $y$ por $F$: $$FTF=(\lambda xy.y)TF=F$$
• Resultado: $F$ (falso).

Resultado final

$x$	$y$	$\vee xy$	Esperado ($x\vee y$)
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$

Referências

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Aula 1 - Cálculo Lambda