Operador lógica NOT no Cálculo Lambda

---

Summary

O operador lógico “NÃO” (NOT) no cálculo lambda, definido como $\neg \equiv \lambda x.xFT$, utilizando os booleanos de Church $T$ e $F$.

No cálculo lambda, o operador lógico “NÃO” (NOT) é mais uma peça do quebra-cabeça da lógica funcional. Ele toma um valor booleano — “verdadeiro” ($T$) ou “falso” ($F$) — e retorna seu oposto.

Já vimos como $T$ e $F$ funcionam como seletores e como “E” (AND) e “OU” (OR) combinam esses valores. Agora, o “NOT” nos permite inverter a lógica, algo essencial para qualquer sistema computacional completo.

Definição

O operador lógico “NÃO” (NOT) no cálculo lambda é definido como:

$$\neg \equiv \lambda x.xFT$$

Onde:

• $x$ é um booleano no cálculo lambda ($T\equiv \lambda xy.x$ ou $F\equiv \lambda xy.y$),
• $T=\lambda xy.x$ (escolhe o primeiro argumento),
• $F=\lambda xy.y$ (escolhe o segundo argumento).

NOTE

Essa função aplica $x$ aos argumentos $F$ e $T$, usando $x$ para selecionar entre “falso” e “verdadeiro” de forma invertida.

A expressão $\lambda x.xFT$ funciona assim:

• $x$ é o booleano de entrada.
• Se $x=T$, então $TFT=F$ (escolhe o primeiro argumento, $F$).
• Se $x=F$, então $FFT=T$ (escolhe o segundo argumento, $T$).

Visualizando operador NOT na tabela verdade

Para confirmar que $\lambda x.xFT$ corresponde ao “NÃO” lógico, testamos os dois casos possíveis de $x$ ($T$ ou $F$) e comparamos com a tabela verdade da negação.

Tabela verdade do “NÃO” lógico:

$x$	$\neg x$
$T$	$F$
$F$	$T$

Agora, calculamos $\neg x=(\lambda x.xFT)x$ para cada caso.

Caso 1: $x=T$

$$\neg T=(\lambda x.xFT)T$$

• Substituímos $x$ por $T$: $$TFT=(\lambda xy.x)FT=F$$
• Resultado: $F$ (falso).

Caso 2: $x=F$

$$\neg F=(\lambda x.xFT)F$$

• Substituímos $x$ por $F$: $$FFT=(\lambda xy.y)FT=T$$
• Resultado: $T$ (verdadeiro).

Resultado final

$x$	$\neg x$ (calculado)	Esperado ($\neg x$)
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$

Referências

---

Aula 1 - Cálculo Lambda