Potência de Matrizes

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Summary

A potência de uma matriz é o resultado de multiplicar a matriz por ela mesma repetidamente. Esse conceito é central em várias áreas da álgebra linear e tem aplicações em sistemas dinâmicos, teoria de grafos e muito mais.

Introdução

A operação de potência de matrizes envolve multiplicar uma matriz por ela mesma várias vezes, o que pode ser útil em diversos contextos, como a resolução de sistemas lineares ou o estudo de dinâmicas de sistemas.

Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, a ordem das multiplicações importa. Esse conceito é fundamental para compreender, por exemplo, como um sistema linear evolui ao longo do tempo ou como transformações lineares podem ser compostas.

Definição

A potência de uma matriz $A$ é denotada por $A^n$, onde $n$ é um número inteiro positivo.

A definição é dada por:

• Se $n=1$, então $A^1=A$.
• Se $n=2$, então $A^2=A\cdot A$.
• Se $n>2$, então a potência é obtida pela multiplicação sucessiva:
  $A^n=A\cdot A\cdot \cdots \cdot A(\text{n vezes})$

Matematicamente, temos que: $A^n=\underset{n\text{ vezes}}{\underbrace{A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}}$

É importante destacar que, para que a operação de potência de uma matriz seja válida, a matriz $A$ precisa ser quadrada (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas).

Detalhamento da Operação

1. Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de matrizes é uma operação fundamental para calcular as potências. Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, $A\cdot B\ne B\cdot A$ em geral, a ordem das multiplicações não pode ser alterada. Além disso, a multiplicação de matrizes é associativa:
$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

2. Matrizes Identidade

Uma matriz identidade $I$ de ordem $n$ tem a propriedade de que qualquer matriz $A$ multiplicada por $I$ retorna a própria matriz $A$:
$A\cdot I=I\cdot A=A$
No caso de potências, temos que para qualquer matriz $A$, a relação com a identidade é:
$A^0=I$
Esta é uma convenção importante, pois define a potência de uma matriz elevada a zero.

3. Potências de Matrizes Diagonais

Se a matriz $A$ for diagonal, ou seja, se ela for da forma:
$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \dots & 0\\ 0& a_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n\end{array}\right]$
A potência de $A$ é dada simplesmente pela potência de cada elemento diagonal:
$A^n=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1^n& 0& \dots & 0\\ 0& a_2^n& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n^n\end{array}\right]$
Ou seja, as potências de matrizes diagonais são simples de calcular, pois a operação se restringe a cada elemento da diagonal.

Exemplo

Exemplo 1: Potência de uma matriz 2x2

Considere a matriz $A$ dada por:
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

Agora, calculemos $A^2=A\cdot A$:
$A^2=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 3& 1\cdot 2+2\cdot 4\\ 3\cdot 1+4\cdot 3& 3\cdot 2+4\cdot 4\end{array}\right]$
$A^2=\left[\begin{array}{cc}1+6& 2+8\\ 3+12& 6+16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]$

Agora, calculemos $A^3=A^2\cdot A$:
$A^3=\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
Realizando a multiplicação:
$A^3=\left[\begin{array}{cc}7\cdot 1+10\cdot 3& 7\cdot 2+10\cdot 4\\ 15\cdot 1+22\cdot 3& 15\cdot 2+22\cdot 4\end{array}\right]$
$A^3=\left[\begin{array}{cc}7+30& 14+40\\ 15+66& 30+88\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}37& 54\\ 81& 118\end{array}\right]$

Exemplo 2: Potência de uma matriz diagonal

Considere a matriz diagonal $D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$. O cálculo de $D^3$ é dado por:
$D^3=\left[\begin{array}{cc}{2}^3& 0\\ 0& 3^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 27\end{array}\right]$

Referências

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Aula sobre Matrizes e Operações