Características gerais da teoria de filas MM1 §

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Abstract

O modelo M/M/1 é uma das configurações mais simples em teoria de filas, caracterizado por chegadas em um processo de Poisson, tempos de atendimento exponencialmente distribuídos e um único servidor. Ele é amplamente utilizado para analisar sistemas de espera e otimizar processos sob certas condições de estabilidade.

Introdução §

A teoria de filas é uma área da matemática aplicada que estuda o comportamento de sistemas que envolvem filas de espera, como call centers, redes de computadores ou sistemas de produção. O modelo M/M/1 é a base para muitos estudos, pois apresenta uma configuração simplificada que permite análises matemáticas detalhadas. Este modelo assume chegadas aleatórias (processo de Poisson), tempos de atendimento exponenciais e apenas um servidor para processar as solicitações.

Compreender suas características é essencial para avaliar o desempenho de sistemas reais e determinar métricas como tempo médio na fila, taxa de utilização do servidor e probabilidade de haver espera.

Definição §

O modelo M/M/1 é definido pelas seguintes características:

1. Chegada de clientes:
   • O processo de chegadas segue uma distribuição de Poisson com taxa média (número médio de chegadas por unidade de tempo).
2. Tempo de atendimento:
   • O tempo necessário para atender cada cliente é exponencialmente distribuído, com taxa de serviço (número médio de clientes atendidos por unidade de tempo).
3. Servidor único:
   • Há apenas um único servidor disponível para atender os clientes.
4. Capacidade infinita:
   • O sistema pode conter qualquer número de clientes na fila (não há limite para o tamanho da fila).
5. Disciplina de atendimento:
   • O atendimento é feito em ordem de chegada, ou seja, First Come, First Served (FCFS).

A condição de estabilidade do sistema é:

Aqui, representa a taxa de utilização do servidor. Para que o sistema funcione de maneira estável, a taxa de chegadas deve ser menor que a taxa de atendimento.

Características §

Chegada (λ) §

A chegada de clientes é descrita por um processo de Poisson, que possui as seguintes propriedades:

• A probabilidade de haver chegadas em um intervalo de tempo é dada por:
  
• O tempo entre duas chegadas consecutivas segue uma distribuição exponencial com parâmetro .

Tempo de Atendimento () §

O tempo necessário para atender cada cliente é modelado por uma variável aleatória exponencial com parâmetro :

• O tempo médio de atendimento é .
• A função densidade de probabilidade do tempo de atendimento é:
  

Número de Atendimentos por Unidade de Tempo () §

A taxa indica a capacidade do servidor de processar solicitações:

• Exemplo: Se , o servidor pode atender, em média, 5 clientes por unidade de tempo.

Condição de Estabilidade §

Para que o sistema não cresça indefinidamente, a taxa de chegada deve ser menor que a taxa de serviço :

Se , o sistema se torna instável, pois a fila cresce sem limite.

Exemplo §

Configuração do Sistema §

Considere um sistema M/M/1 onde:

Verificação da Estabilidade §

Calculamos :

Como , o sistema é estável.

Cálculo de Métricas Básicas §

1. Taxa de utilização:
   , ou seja, o servidor está ocupado 40% do tempo.
2. Número médio de clientes no sistema ():
   
3. Tempo médio no sistema ():
   

Referências §

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Aula 12 - Teoria das Filas