Condicionais no Cálculo Lambda §

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Abstract

As condicionais no cálculo lambda são representados usando funções para “verdadeiro” () e “falso” (), que selecionam o primeiro ou o segundo argumento, respectivamente, oferecendo uma base para lógica funcional.

No cálculo lambda, tudo é uma função — até mesmo conceitos como “verdadeiro” e “falso”, que usamos em condicionais (como “se-senão”).

Em linguagens de programação tradicionais, usamos palavras-chave como if, mas aqui, precisamos codificar essa lógica usando apenas abstrações lambda.

A ideia por trás disso é simples: representamos “verdadeiro” como uma função que escolhe o primeiro de dois argumentos, e “falso” como uma função que escolhe o segundo.

Definição §

No cálculo lambda, os valores booleanos são definidos como funções de dois argumentos que selecionam entre eles:

• Verdadeiro ():

  Essa função toma dois argumentos, e , e retorna — ou seja, “escolhe o primeiro”.

• Falso (): Definido como:

  Essa função toma dois argumentos, e , e retorna — ou seja, “escolhe o segundo”.

Essas definições, conhecidas como codificação de Church para booleanos, transformam os valores lógicos em operadores de seleção, permitindo simular condicionais sem estruturas explícitas como if.

Exemplo §

Exemplo 1: Aplicação de verdadeiro §

Considere:

• Substituímos por e por :

Resultado: . A função escolheu o primeiro argumento, como esperado para “verdadeiro”.

Exemplo 2: Aplicação de falso §

Agora, com :

• Substituímos por e por :

Resultado: . A função escolheu o segundo argumento, como esperado para “falso”.

Exemplo 3: Simulando um “if” §

Suponha que queremos simular “se verdadeiro, retorne 1, senão retorne 0”:

• Usamos como condição, , e :
• Resolvendo: retorna .

Se usarmos :

Isso mostra como e funcionam como condicionais.

Referências §

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Aula 1 - Cálculo Lambda