Prova por redução ao absurdo

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A redução ao absurdo, também conhecida como prova por contradição, é uma técnica amplamente utilizada na matemática para provar que uma implicação lógica $p\to q$ é verdadeira. Ela opera contradizendo a tese $q$ (ou seja, assumindo $\neg q$) e, a partir dessa suposição, conclui-se que qualquer situação em que a hipótese $p$ seja verdadeira e $\neg q$ seja verdadeiro levará a uma contradição ou a uma falsidade ($F$).

Essa estratégia de prova pode ser expressa matematicamente como $p\to q\iff p\wedge \neg q\to F$. Isso significa que, se ao supormos $p\wedge \neg q$ resulta em uma contradição (ou seja, a afirmação é falsa), então podemos concluir que a implicação $p\to q$ é verdadeira. A tabela-verdade abaixo comprova que essa expressão se trata de uma tautologia.

$p$	$q$	$\neg q$	$p\to q$	$p\wedge \neg q$	$p\wedge \neg q\to F$	$p\to q\iff p\wedge \neg q\to F$
V	V	F	V	F	V	V
V	F	V	F	V	F	V
F	V	F	V	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V

Essencialmente, a redução ao absurdo assume temporariamente que a conclusão oposta é verdadeira e, em seguida, mostra que isso levaria a uma contradição, o que confirma a veracidade da afirmação original $p\to q$.

Exercício 1

Prove o seguinte teorema, usando a estratégia da redução ao absurdo.

Teorema: “0 é o único elemento neutro da adição em $\mathbb{N}$.”

Se 0 é elemento neutro da adição, então ele é único, $p$ é elemento neutro, $q$ é o único elemento neutro.

Exercício 2

Prove o seguinte teorema:

Teorema: “1 é o único elemento neutro da multiplicação em $\mathbb{N}$.”

Se 1 é elemento neutro da multiplicação, então ele é único, $p\acute{e}elementoneutro$, $q$ é o único elemento neutro.

Se $p$ é definido por $n\cdot 1=n$ e $e$ é o elemento neutro, então $n\cdot n^{-1}=e$, logo $n\cdot \frac{1}{n}=1$ c.q.d.

Exercício 3

No conjunto do números inteiros ($\mathbb{Z}$), dizemos que $–a$ é o inverso aditivo de $a$, pois $(-a)+a=0$. Com base nesta definição, prove o seguinte teorema:

Teorema “Cada elemento em $\mathbb{Z}$ tem um único inverso aditivo.”

Se $n$ o único inverso aditivo e $m\in \mathbb{Z}$, então $n+m=0$ e $m+n=0$, logo $n=-m$ e é único.

Exercícios extras

1. Prove por redução ao absurdo que “Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então o número é 0 (zero)”.

   Se $n+n=n$ então $n=0$. A hipótese é $n+n=n$ onde $n!=0$ é um absurdo, pois:

   Para $a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a+a=a$, logo não existe um número $a$ que satisfaça essa equação.

2. Prove por redução ao absurdo que $\sqrt{2}$ não é um número racional. (Lembre-se que um número racional é aquele que pode ser escrito na forma $\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ são números naturais.)

   Se um número racional é definido por $\frac{p}{q}$, sendo $p$ e $q$ $\in \mathbb{N}$, logo $\frac{p}{q}=\sqrt{2}$ é um absurdo, pois:

   Se $a$ e $b$ $\in \mathbb{N}$, então $\frac{a}{b}=\sqrt{2}\to \frac{p^2}{q^2}={\sqrt{2}}^2\to a^2=2\cdot b^2$. Com isso concluímos que $a^2$ é um número par, pois é o dobro de $b^2$ e também $\forall b|b\text{ eˊ ıˊmpar}$, $b^2$ também é ímpar.

   Sabendo que $a$ é um número par, pois $\forall a|a\text{ eˊ par}$, logo $a^2$ também é par, denotamos $b^2$ é $c$. Ao substituir $a=2\cdot c$ e $a^2=2\cdot b^2$, temos:

   $(2c{)}^2=2b^2\Rightarrow 4c^2=2b^2\Rightarrow 2c^2=b^2$

   Dessa forma, como mostrado anteriormente $b$ é um número par.

   Concluímos, que se a $\sqrt{2}$ fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, porém tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares e tem o fator 2 em comum. Logo é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, c.q.d..

3. Prove por contradição que o produto de dois inteiros pares é par.

   Suponha que $a$ e $b$ sejam números pares e pertencem ao $\mathbb{N}$, então $a\cdot b$ é ímpar:

   $a$ pode ser reescrito por $a=2x$, assim como $b=2y$, tais que $\forall x$ e $\forall y$ $\in \mathbb{N}$, $2x\cdot 2y$ é sempre par, logo $a\cdot b$ também é sempre par.

   Com isso, para que $a\cdot b$ será ímpar, pelo menos $a$ ou $b$ devem ser ímpar, porém como ambos são números pares então $a\cdot b$ é sempre par, c.q.d..

Referências

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