Igualdade de matrizes

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Summary

A igualdade de matrizes ocorre quando todas as suas dimensões são iguais e os elementos correspondentes em suas posições são idênticos. Este conceito é fundamental para muitas operações e propriedades em álgebra linear.

Introdução

A igualdade de matrizes é um conceito básico, mas crucial, na álgebra linear, sendo amplamente utilizada em áreas como sistemas lineares, computação gráfica e otimização. Antes de aprofundarmos nas propriedades e aplicações, é essencial compreender como essa igualdade é definida e verificada.

Definição

Dizemos que duas matrizes $A$ e $B$ são iguais se, e somente se:

1. Ambas possuem as mesmas dimensões, ou seja, se $A$ é de ordem $m\times n$, então $B$ também deve ser de ordem $m\times n$.
2. Os elementos correspondentes em $A$ e $B$ são iguais, isto é:
   $a_{ij}=b_{ij},\forall i,j$
   onde $a_{ij}$ representa o elemento na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna da matriz $A$, e $b_{ij}$ o elemento correspondente da matriz $B$.

De forma compacta, escrevemos:
$A=B⟺\text{(dimenso˜es iguais)}\wedge (a_{ij}=b_{ij},\forall i,j)$

Verificando a Igualdade de Matrizes

1. Comparação de Dimensões

Para que duas matrizes possam ser comparadas, elas devem possuir a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas.

• Por exemplo, uma matriz $A$ de ordem $2\times 3$ não pode ser comparada com uma matriz $B$ de ordem $3\times 2$.

2. Comparação Elemento a Elemento

Se as dimensões forem iguais, comparamos cada elemento correspondente.

• Para $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ e $B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$, verificamos:
  • $a_{11}=b_{11}=1$, $a_{12}=b_{12}=2$, etc.
  • Como todos os elementos coincidem, temos $A=B$.

Observação: Diferença com Outros Conceitos

A igualdade de matrizes não deve ser confundida com equivalência em outras operações, como similaridade ou igualdade de determinantes.

Exemplo

Exemplo 1: Matrizes Iguais

Dadas as matrizes:
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

• Ambas possuem ordem $2\times 2$.
• Comparando elemento a elemento:
  $a_{11}=b_{11},a_{12}=b_{12},a_{21}=b_{21},a_{22}=b_{22}$
  Logo, $A=B$.

Exemplo 2: Matrizes Diferentes

Considere agora:
$C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

• As dimensões são iguais ($2\times 2$), mas:
  • $c_{22}=5\ne d_{22}=4$.
    Logo, $C\ne D$.

Referências

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Aula sobre Matrizes e Operações