Cálculo da variância a partir do valor esperado

Abaixo está a demonstração da seguinte igualdade para o cálculo da variância a partir do valor esperado de um variável aleatória:

$$VAR(X)=E[(x-E[x]{)}^2]=E[x^2]-(E[x]{)}^2$$ $$\begin{array}{rl}VAR(X)& =E[(x-E[x]{)}^2]\end{array}$$

Agora, expandimos o termo quadrado no lado direito:

$$\begin{array}{rl}VAR(X)& =E[x^2-2xE[x]+(E[x]{)}^2]\end{array}$$

Calculamos o valor esperado de toda a expressão usando a notação de integral:

$$\begin{array}{rl}VAR(X)& =\int (x^2-2xE[x]+(E[x]{)}^2)P(x)dx\end{array}$$

Onde $P(x)$ é a função de densidade de probabilidade de $X$.

Agora, realizamos a expansão e distribuição dos termos na integral:

$$\begin{array}{rl}VAR(X)& =\int x^{2}P(x)dx-2E[x]\int xP(x)dx+(E[x]{)}^2\int P(x)dx\end{array}$$

Analisamos cada termo separadamente:

• O primeiro termo $\int x^{2}P(x)dx$ representa o valor esperado de $x^2$, que é $E[x^2]$.
• O segundo termo $-2E[x]\int xP(x)dx$ pode ser reescrito como $-2E[x{]}^2$, já que $\int xP(x)dx$ é o valor esperado de $x$, ou seja, $E[x]$.
• O terceiro termo $(E[x]{)}^2\int P(x)dx$ é simplesmente $(E[x]{)}^2$ porque $\int P(x)dx$ é igual a 1, pois é a integral da função de densidade de probabilidade.

Substituímos esses resultados de volta na expressão:

$$\begin{array}{rl}VAR(X)& =E[x^2]-2E[x{]}^2+(E[x]{)}^2\end{array}$$

Finalmente, simplificamos a expressão:

$$\begin{array}{rl}VAR(X)& =E[x^2]-(E[x]{)}^2\end{array}$$

Portanto, chegamos à fórmula $VAR(X)=E[x^2]-(E[x]{)}^2$, que representa a variância de uma variável aleatória $X$, utilizando integrais e a notação apropriada.