Cálculo da variância a partir do valor esperado

Abaixo está a demonstração da seguinte igualdade para o cálculo da variância a partir do valor esperado de um variável aleatória:

Agora, expandimos o termo quadrado no lado direito:

Calculamos o valor esperado de toda a expressão usando a notação de integral:

Onde é a função de densidade de probabilidade de .

Agora, realizamos a expansão e distribuição dos termos na integral:

Analisamos cada termo separadamente:

• O primeiro termo representa o valor esperado de , que é .
• O segundo termo pode ser reescrito como , já que é o valor esperado de , ou seja, .
• O terceiro termo é simplesmente porque é igual a 1, pois é a integral da função de densidade de probabilidade.

Substituímos esses resultados de volta na expressão:

Finalmente, simplificamos a expressão:

Portanto, chegamos à fórmula , que representa a variância de uma variável aleatória , utilizando integrais e a notação apropriada.