Método de Gauss
O Método de Eliminação de Gauss é uma técnica amplamente utilizada para resolver sistemas de equações lineares. O objetivo principal desse método é transformar o sistema original em um sistema mais simples, de forma escalonada, em que podemos resolver facilmente as variáveis por meio de substituições sucessivas. Este processo envolve a manipulação das equações sem alterar suas soluções, permitindo uma resolução eficiente.
Considere o seguinte sistema linear de três equações com três incógnitas:
O objetivo do método de Gauss é transformar esse sistema de forma que ele se torne um sistema escalonado como:
Nesse sistema escalonado, podemos resolver as equações de baixo para cima (processo de substituição retroativa).
Passos do Método de Gauss
O método de Gauss consiste basicamente em duas fases:
Fase de Eliminação
Na fase de eliminação, o sistema é transformado em uma forma triangular superior, onde os coeficientes abaixo da diagonal principal são eliminados (transformados em zero). Isso é feito através de operações elementares nas linhas (ou seja, somas, subtrações e multiplicações de linhas entre si), mantendo o sistema equivalente.
Vamos aplicar esse conceito ao exemplo genérico:
-
Primeiro, escolhemos a primeira equação e a usamos para eliminar
das equações abaixo. Multiplicamos a primeira equação por um fator
e subtraímos da segunda equação, de modo a eliminar o termo da segunda equação. Fazemos o mesmo para a terceira equação com , eliminando também da terceira equação. -
Em seguida, usamos a segunda equação para eliminar
das equações subsequentes. Para isso, multiplicamos a segunda equação por um fator e subtraímos da terceira equação.
Ao final desse processo, teremos uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Fase de Substituição Retroativa
Após a matriz estar na forma triangular superior, começamos a substituição retroativa, onde resolvemos as equações de baixo para cima:
- A última equação agora contém apenas
, e podemos resolvê-la diretamente. - Em seguida, substituímos o valor de
na equação anterior para encontrar . - Finalmente, substituímos
e na primeira equação para encontrar .
Esse processo continua até que todas as incógnitas estejam resolvidas.
Exemplo
Considere o sistema de equações:
Passo 1: Eliminar
-
Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
Resultando: -
Multiplicamos a primeira por (-1) e somamos com a terceira:
Resultando:
Agora o sistema é:
Passo 2: Eliminar
Vantagens e Limitações
O método de Gauss é eficaz e utilizado extensivamente, especialmente para sistemas menores. No entanto, em sistemas grandes ou mal condicionados, ele pode ser sensível a erros de arredondamento. Além disso, é menos eficiente para matrizes esparsas (com muitos zeros), onde métodos iterativos podem ser mais adequados.