Princípio da indução matemática §

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O Princípio da Indução Finita, abreviado como PIF-I, é uma poderosa ferramenta na matemática para provar proposições que envolvem conjuntos de números naturais.

Ele opera da seguinte maneira:

Suponhamos que temos uma proposição que desejamos provar para todo número natural n pertencente ao conjunto M, onde é definido como . Para aplicar o PIF-I, precisamos atender a duas condições fundamentais:

I. Primeiramente, devemos demonstrar que a proposição é verdadeira para um valor específico (isso é conhecido como a “base indutiva”).

II. Em seguida, precisamos mostrar que, assumindo que a proposição é verdadeira para algum número pertencente a , podemos provar que ela também é verdadeira para o próximo número (isso é chamado de “passo indutivo”).

Se ambas as condições (I) e (II) forem atendidas, podemos concluir que a proposição é verdadeira para todos os números naturais pertencentes ao conjunto .

Em essência, o PIF-I nos fornece uma estratégia eficaz de prova chamada de prova por indução. Começamos estabelecendo a validade da proposição para um valor inicial (base indutiva) e, em seguida, demonstramos que, se a proposição é válida para algum número , ela também deve ser válida para o próximo número (passo indutivo). Esse processo assegura que a proposição seja verdadeira para todos os números naturais dentro do conjunto .

Essa técnica é especialmente útil quando lidamos com propriedades que seguem uma espécie de padrão ou sequência, como é frequentemente o caso em problemas matemáticos. Ela se relaciona com o conceito de “boa ordem” mencionado na resposta anterior, pois ajuda a estabelecer a validade de proposições para todos os elementos de um conjunto ordenado, como os números naturais.

Exercício 1 §

Prove por indução que

Passo 1: Base da indução (n = 0)

Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para :

Claramente, não é verdadeiro. Portanto, a base da indução não é satisfeita para .

Passo 2: Hipótese da indução

Suponha que a afirmação seja verdadeira para um número natural . Ou seja, supomos que:

Passo 3: Passo da indução

Agora, precisamos mostrar que a afirmação é verdadeira para . Ou seja, precisamos mostrar que:

Vamos simplificar a desigualdade do lado direito:

Agora, podemos comparar o lado esquerdo com o lado direito da desigualdade:

Agora, subtraímos de ambos os lados:

Subtraindo 2 de ambos os lados:

Como já sabemos que é um número natural (), essa desigualdade é sempre verdadeira.

Portanto, para , temos:

Isso conclui o passo da indução.

Conclusão

Com base na base da indução (Passo 1) e no passo da indução (Passo 3), podemos concluir que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais onde , utilizando o princípio da indução finita.

Exercício 2 §

Prove por indução que

Para provar por indução que , para todos onde , vamos seguir os passos do princípio da indução finita.

Passo 1: Base da indução (n = 4)

Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para :

Simplificando:

Claramente, é verdadeiro. Portanto, a base da indução é satisfeita para .

Passo 2: Hipótese da indução

Suponha que a afirmação seja verdadeira para um número natural . Ou seja, supomos que:

Passo 3: Passo da indução

Agora, precisamos mostrar que a afirmação é verdadeira para . Ou seja, precisamos mostrar que:

Vamos começar com o lado esquerdo da desigualdade:

Agora, usando nossa hipótese de indução (Passo 2), sabemos que:

Multiplicando ambos os lados por 2:

Simplificando:

Agora, vamos considerar o lado direito da desigualdade:

Multiplicando ambos os lados por 2:

Agora, podemos comparar o lado esquerdo com o lado direito da desigualdade:

Isso conclui o passo da indução.

Conclusão

Com base na base da indução (Passo 1) e no passo da indução (Passo 3), podemos concluir que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais onde , utilizando o princípio da indução finita.

Referências §

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Matemática Discreta - Aula 18.pdf