Propriedades da operação de concatenação de palavras §

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A concatenação é o ato de “juntar” duas palavras, uma após a outra, para formar uma nova palavra.

Formalmente, a concatenação é uma operação que combina duas palavras sobre um alfabeto . Se e são palavras em , a concatenação é a palavra obtida colocando imediatamente após .

As propriedades dessa operação são:

1. Elemento Neutro: A palavra vazia, denotada por , satisfaz:

   para qualquer palavra .

2. Associatividade: Para quaisquer palavras , vale:

3. Comprimento aditivo: O comprimento da palavra concatenada é a soma dos comprimentos das palavras originais. Se denota o comprimento de , então:

Propriedade 1: elemento neutro §

A palavra vazia é especial porque não adiciona nenhum símbolo ao resultado da concatenação.

Se você junta com qualquer palavra , o resultado é simplesmente . Isso é análogo ao número 1 na multiplicação ou ao 0 na soma: um elemento que “não interfere” no resultado.

Por exemplo:

• .
• .

A palavra vazia “desaparece” na concatenação, deixando intacto.

Propriedade 2: associatividade §

A associatividade significa que a ordem em que concatenamos três ou mais palavras não importa, desde que a sequência dos operandos seja mantida.

Por exemplo, ao concatenar , e , podemos primeiro juntar e e depois adicionar , ou juntar e e depois concatenar com — o resultado é o mesmo.

Abaixo está alguns exemplos aplicando essa propriedade:

• .
• .

Observe que ambos os resultados são iguais, confirmando a associatividade.

Propriedade 3: Aditividade do comprimento §

O comprimento de uma palavra concatenada é intuitivo: se tem 2 símbolos e tem 3, então tem 5 símbolos.

Essa propriedade é especialmente útil para analisar o tamanho das palavras geradas e para verificar condições em linguagens, como “palavras de comprimento par”.

Por exemplo, a palavra tem comprimento 5, que é ímpar, então ela não pertence a . Mas se concatenarmos com outra palavra de comprimento par, como ():

. (par).

Essa nova palavra pertence a , pois tem comprimento par.

Referências §

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Aula 2 - Alfabetos palavras e linguagens