Lógica de predicados §

---

A preposição é uma afirmação que podemos atribuir um valor de juízo verdadeiro (V) ou falso (F). Já um conjunto é uma coleção de elementos.

A definição formal de proposições sobre conjuntos é:

“Seja A um conjunto. Uma proposição sobre é uma proposição cujo valor lógico (ou de juízo) depende do elemento considerado.”

A partir de uma proposição sobre o conjunto A, podemos classificá-lo como:

• Conjunto verdade:

• Conjunto falsidade:

Uma proposição é considerado uma tautologia, se e somente se, . Por outro lado, uma proposição é considerado uma contradição, se e somente se, .

Exemplo §

Para cada uma das proposições sobre N abaixo, calcule os conjuntos verdade e falsidade. Em seguida, verifique se elas são tautologias ou contradições sobre .

• não é uma contradição e nem uma tautologia, pois é falsa, da mesma forma que também é falsa.

• é uma tautologia, pois é verdade.

Para cada uma das proposições sobre abaixo, calcule os conjuntos verdade e falsidade. Em seguida, verifique se elas são tautologias ou contradições sobre .

• não é uma contradição e nem uma tautologia, pois .

• é uma contradição, pois , logo é par.

Quantificadores §

Os quantificadores são uma ferramenta matemática para quantificar a existência ou universalidade de uma proposição sobre um conjunto .

• Quantificação existencial: existe pelo menos um elemento no conjunto que torna a proposição verdadeira. Pode ser representado matematicamente por .

• Quantificação universal: todos os elementos do conjunto tornam a proposição verdadeira. Pode ser representado matematicamente por .

O conceito de quantificadores também podem ser aplicados em fórmulas.

e também podem ser chamados de predicados, e juntamente com as fórmulas e proposições temos a Lógica de predicados.

: lê-se como “Existe algum elemento x pertencente ao conjunto A tal que o predicado p(x) é verdadeiro.”

(Lê-se como “Para todo elemento x pertencente ao conjunto A, o predicado p(x) é verdadeiro.“)

Proposições e predicados com várias variáveis §

A notação de proposição sobre um conjunto pode ser generalizada para várias variáveis da seguinte forma:

“Sejam conjuntos. Uma proposição sobre é uma proposição cujo valor lógico (ou de juízo) depende de cada elemento considerado.”

É possível quantificar proposições com várias variáveis. Por exemplo:

, lê-se como “Existe algum número natural x tal que existe algum número natural y, ambos satisfazendo a condição de que x é menor que y.”

Ou simplesmente, . Nesse caso se trata de um predicado existencial com duas variáveis.

Exemplo §

Para cada uma das proposições abaixo, verifique se é possível definir um predicado sobre o conjunto :

Para a proposição abaixo, verifique se é possível definir um predicado sobre o conjunto :

Negação de predicados §

Da mesma forma que as proposições e fórmulas podem ser negados com o operador lógico , os predicados seguem a mesma regra.

As duas regras fundamentais para a negação de predicados com apenas uma variável são:

Exemplo §

Utilizando as duas regras de negação acima, justifique as equivalências abaixo:

Referências §

---