Prova por redução ao absurdo §

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A redução ao absurdo, também conhecida como prova por contradição, é uma técnica amplamente utilizada na matemática para provar que uma implicação lógica é verdadeira. Ela opera contradizendo a tese (ou seja, assumindo ) e, a partir dessa suposição, conclui-se que qualquer situação em que a hipótese seja verdadeira e seja verdadeiro levará a uma contradição ou a uma falsidade ().

Essa estratégia de prova pode ser expressa matematicamente como . Isso significa que, se ao supormos resulta em uma contradição (ou seja, a afirmação é falsa), então podemos concluir que a implicação é verdadeira. A tabela-verdade abaixo comprova que essa expressão se trata de uma tautologia.

V	V	F	V	F	V	V
V	F	V	F	V	F	V
F	V	F	V	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V

Essencialmente, a redução ao absurdo assume temporariamente que a conclusão oposta é verdadeira e, em seguida, mostra que isso levaria a uma contradição, o que confirma a veracidade da afirmação original .

Exercício 1 §

Prove o seguinte teorema, usando a estratégia da redução ao absurdo.

Teorema: “0 é o único elemento neutro da adição em .”

Se 0 é elemento neutro da adição, então ele é único, é elemento neutro, é o único elemento neutro.

Exercício 2 §

Prove o seguinte teorema:

Teorema: “1 é o único elemento neutro da multiplicação em .”

Se 1 é elemento neutro da multiplicação, então ele é único, , é o único elemento neutro.

Se é definido por e é o elemento neutro, então , logo c.q.d.

Exercício 3 §

No conjunto do números inteiros (), dizemos que é o inverso aditivo de , pois . Com base nesta definição, prove o seguinte teorema:

Teorema “Cada elemento em tem um único inverso aditivo.”

Se o único inverso aditivo e , então e , logo e é único.

Exercícios extras §

1. Prove por redução ao absurdo que “Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então o número é 0 (zero)“.

   Se então . A hipótese é onde é um absurdo, pois:

   Para , , logo não existe um número que satisfaça essa equação.

2. Prove por redução ao absurdo que não é um número racional. (Lembre-se que um número racional é aquele que pode ser escrito na forma , onde e são números naturais.)

   Se um número racional é definido por , sendo e , logo é um absurdo, pois:

   Se e , então . Com isso concluímos que é um número par, pois é o dobro de e também , também é ímpar.

   Sabendo que é um número par, pois , logo também é par, denotamos é . Ao substituir e , temos:

   Dessa forma, como mostrado anteriormente é um número par.

   Concluímos, que se a fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, porém tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares e tem o fator 2 em comum. Logo é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, c.q.d..

3. Prove por contradição que o produto de dois inteiros pares é par.

   Suponha que e sejam números pares e pertencem ao , então é ímpar:

   pode ser reescrito por , assim como , tais que e , é sempre par, logo também é sempre par.

   Com isso, para que será ímpar, pelo menos ou devem ser ímpar, porém como ambos são números pares então é sempre par, c.q.d..

Referências §

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