Adição de matrizes §

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Abstract

A adição de matrizes consiste em somar elemento a elemento de duas matrizes de mesma ordem. É uma operação fundamental em álgebra linear e respeita propriedades como comutatividade, associatividade e a existência de elemento neutro.

Introdução §

A adição de matrizes é uma das operações mais básicas e intuitivas na álgebra linear. Ela permite combinar informações de duas matrizes de maneira simples, desde que elas possuam as mesmas dimensões. Além disso, essa operação é a base para conceitos mais avançados, como operações envolvendo espaços vetoriais e transformações lineares.

Definição §

Seja e duas matrizes de ordem , a soma de matrizes é definida como uma matriz , também de ordem , onde cada elemento é dado por:

De forma compacta, escrevemos:

Condição essencial: Para que a soma seja válida, as matrizes e devem ter a mesma ordem.

Propriedades da Adição de Matrizes §

1. Comutatividade §

A ordem das matrizes na soma não altera o resultado:

2. Associatividade §

Ao somar três ou mais matrizes, a ordem das operações não importa:

3. Elemento Neutro §

Existe uma matriz nula de mesma ordem que , tal que:

onde , e todos os seus elementos são iguais a zero.

4. Inverso Aditivo §

Para cada matriz , existe uma matriz (com os elementos opostos de ), tal que:

onde .

Propriedades §

Comutatividade §

Considere e .
Ao calcular e , temos:


Como a adição de números escalares é comutativa (), então .

Associatividade §

Para , e de mesma ordem, verificamos que:

Como a soma de números escalares é associativa, a associatividade também é válida para a adição de matrizes.

Elemento Neutro §

Seja . Então:

Inverso Aditivo §

Seja . Verificamos que:

Exemplo §

Exemplo 1: Soma Simples §

Dadas as matrizes:

A soma é:

Exemplo 2: Propriedade do Elemento Neutro §

Seja e a matriz nula . Então:

Referências §

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Aula sobre Matrizes e Operações