Método da bissecção

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O Método da Bissecção é um dos métodos numéricos mais simples e intuitivos para encontrar soluções de equações não lineares da forma $f(x)=0$. Ele é um método iterativo que utiliza a propriedade de continuidade das funções e o Teorema do Valor Intermediário para localizar raízes dentro de um intervalo. O método é eficaz em encontrar a raiz, mas possui uma convergência lenta em comparação com outros métodos numéricos, como o Método de Newton.

A ideia do Método da Bissecção é localizar uma raiz de uma função $f(x)$ em um intervalo $[a,b]$, onde $f(x)$ é contínua, e aplicar sucessivas divisões desse intervalo para reduzir gradualmente a busca até encontrar a raiz com a precisão desejada.

O Teorema do Valor Intermediário nos diz que, se uma função $f(x)$ é contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, isto é, $f(a)f(b)<0$, então existe pelo menos uma raiz no intervalo $[a,b]$. A raiz $x$ é o valor onde a função cruza o eixo $x$ ($f(x)=0$).

Passos do Método de Bissecção

1. Escolher um intervalo inicial $[a,b]$, onde $f(a)f(b)<0$, ou seja, $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, o que garante que há pelo menos uma raiz no intervalo.

2. Calcular o ponto médio $p_i$ do intervalo, ou seja, dividir o intervalo $[a,b]$ ao meio:

   $$p_i=\frac{a+b}{2}$$

3. Verificar o sinal de $f(p_i)$:

   • Se $f(p_i)=0$, $p_i$ é a raiz exata e o processo termina.
   • Se $f(p_i)$ não for zero, verificar o produto $f(a)f(p_i)$ para determinar em qual metade do intervalo está a raiz:
     • Se $f(a)f(p_i)<0$, a raiz está no intervalo $[a,p_i]$, então redefine-se $b=p_i$.
     • Se $f(b)f(p_i)<0$, a raiz está no intervalo $[p_i,b]$, então redefine-se $a=p_i$.

4. Repetir o processo: O intervalo continua a ser subdividido ao meio iterativamente, recalculando o ponto médio e verificando o produto dos sinais até que a raiz seja localizada com a precisão desejada, ou seja, até que o intervalo $[a,b]$ seja suficientemente pequeno.

5. Critério de Parada: O método pode ser interrompido quando o tamanho do intervalo $[a,b]$ for menor que uma tolerância predefinida $ϵ$, indicando que a raiz foi localizada com precisão suficiente. Existem diversas maneira para critérios de parada.

$$|p_N-p_{N-1}|<ϵ$$ $$\frac{|p_N-p_{N-1}|}{|p_N|}<ϵ,p_N\ne 0$$ $$|f(p_N)|<ϵ$$

Exemplo de Aplicação

Vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz da função $f(x)=x^2-4$, que tem uma raiz em $x=2$, no intervalo $[1,3]$.

1. Escolha do intervalo: No intervalo $[1,3]$,

   $$f(1)=1^2-4=-3,f(3)=3^2-4=5$$

   Como $f(1)f(3)<0$, sabemos que há uma raiz no intervalo $[1,3]$.

2. Primeira iteração:

   • O ponto médio é: $$p_1=\frac{1+3}{2}=2$$
   • Calculando $f(2)$: $$f(2)=2^2-4=0$$ Como $f(2)=0$, encontramos a raiz exata $x=2$.

Neste caso, o método encontrou a raiz exata na primeira iteração, mas, em muitos casos, isso não acontece, e o método precisa continuar dividindo o intervalo até a raiz ser encontrada com a precisão desejada.

Convergência do Método

O Método da Bissecção sempre converge, desde que a função $f(x)$ seja contínua no intervalo e $f(a)$ e $f(b)$ tenham sinais opostos. A convergência, no entanto, é lenta, pois a cada iteração o tamanho do intervalo é reduzido pela metade. O número de iterações necessárias $n$ para garantir que o erro seja menor que uma tolerância $ϵ$ pode ser estimado pela fórmula:

$$n\ge \frac{\log \left(\frac{b-a}{ϵ}\right)}{\log 2}$$

Isso indica que o número de iterações cresce logaritmicamente com o tamanho do intervalo inicial $[a,b]$ e com a precisão $ϵ$.

Referências

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Aula 4 - Método da bissecção