Método de Jacobi
O Método de Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares. Ao contrário dos métodos diretos, como o Método de Gauss, que fornecem a solução exata em um número finito de passos, o Método de Jacobi calcula sucessivas aproximações da solução, a partir de uma estimativa inicial, até que a solução desejada seja obtida com uma precisão especificada.
Note
Esse método é particularmente útil para sistemas de grande dimensão ou em casos onde é mais eficiente obter uma solução aproximada.
Considere um sistema linear de (n) equações com (n) incógnitas na forma:
Ou seja:
O objetivo é encontrar os valores das variáveis (x_1, x_2, \dots, x_n) que satisfaçam esse sistema.
O Método de Jacobi reescreve cada equação do sistema isolando a variável correspondente em termos das outras variáveis. Assim, para a (i)-ésima equação, temos:
Aqui, (x_i) é expresso como uma função dos valores de (x_j) para (j \neq i), ou seja, como uma função das outras variáveis.
Passos do Método de Jacobi
-
Estimativa Inicial: Defina uma aproximação inicial para as variáveis
. Esse “chute” inicial pode ser, por exemplo, um vetor de zeros ou qualquer outro vetor próximo da solução esperada. -
Iterações: Em cada iteração, os novos valores das incógnitas são calculados com base nos valores das iterações anteriores, de acordo com a fórmula acima. Para a (k)-ésima iteração, a (i)-ésima variável é atualizada da seguinte forma:
Note que, em cada iteração, os novos valores das incógnitas são calculados somente com base nos valores da iteração anterior.
- Critério de Parada: O processo é repetido até que as aproximações sucessivas se tornem suficientemente próximas. O critério de parada mais comum é verificar se a diferença entre as aproximações sucessivas é menor que uma tolerância previamente estabelecida:
Onde:
é a tolerância de erro. - normal-infinito ->
Exemplo
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Para aplicar o Método de Jacobi, precisamos isolar cada variável:
Suponha que a aproximação inicial seja (x_1^{(0)} = x_2^{(0)} = x_3^{(0)} = 0).
- Na primeira iteração ((k=0)):
- Na segunda iteração ((k=1)):
O processo continua até que a diferença entre as iterações consecutivas seja menor que a tolerância definida.
Convergência do Método de Jacobi
O Método de Jacobi nem sempre converge. Sua convergência depende de algumas propriedades da matriz dos coeficientes (A). Uma condição suficiente (mas não necessária) para a convergência do Método de Jacobi é que a matriz (A) seja diagonalmente dominante, ou seja, para cada linha (i):
Se a matriz for diagonalmente dominante, o método garantidamente converge para a solução correta.
Referências
Aula 3 - Resolução de sistemas lineares com Método de Jacobi