Método de Newton

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O Método de Newton, também conhecido como Método de Newton-Raphson, é uma técnica iterativa usada para encontrar aproximações para as raízes de uma equação $f(x)=0$.

Ele é amplamente utilizado devido à sua eficiência e rapidez, especialmente quando a solução inicial está próxima da raiz.

Como funciona:

A fórmula do método se baseia na ideia de aproximação linear:

Cite

A raiz da função $f(x)$ é estimada pela interseção da reta tangente à curva de $f(x)$ no ponto $x_n$ com o eixo $x$.

1. Ponto inicial: Escolhe-se um valor inicial $x_0$, que é uma estimativa inicial da raiz.

2. Cálculo da próxima aproximação: A partir do valor inicial, calcula-se uma nova aproximação $x_1$ utilizando a fórmula:

   $$x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{\prime }(x_{n-1})}$$

   Aqui, $f^{\prime }(x)$ é a derivada da função $f(x)$.

3. Repetição: O processo é repetido até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja suficientemente pequena, ou seja, até que a solução esteja dentro de um erro aceitável $ϵ$.

Critérios de paradas

$$|x_n-x_{n-1}|<ϵ$$ $$\frac{|x_n-x_{n-1}|}{|x_n|}<ϵ,\text{ para }{x}_n\ne 0$$ $$|f(x_n)|<ϵ$$

Exemplo:

Imagine que queremos encontrar a raiz da função $f(x)=x^2-2$:

1. Derivada: $f^{\prime }(x)=2x$.
2. Escolhemos um ponto inicial, como $x_0=1$.
3. Aplicamos a fórmula para calcular $x_1$: $$x_1=1-\frac{1^2-2}{2(1)}=1.5$$
4. Continuamos o processo para $x_2,x_3,\dots$, até obter uma aproximação da raiz (neste caso, $\sqrt{2}\approx 1.414$).

Referências

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Aula 7 - Resolução de equações com Método de Newton