Hipótese: Dígrafo é igual se, somente se, é simétrico.
Prova:
Temos que provar que:
(=>) Se G^TG$ é simétrica.
é igual a se e . Isto ocorre quando dado ao obter a transposta de , ou seja, dados os vértices se mantém os mesmos, todas as arestas são dadas a seguir
pela definição de grafos transpostos.
Como e são idênticos então todo par de vértice em contém um arco de para e outro de para .
Portanto o grafo é simétrico, pois um grafo é simétrico se cada uma das arestas é anti-paralela a aresta.
(<=) Se é simétrica, então e são idênticos.
Por hipótese é simétrica, ou seja, cada aresta possui uma aresta anti-paralela .
u --> v
v <-- u
Ao aplicar a operação de transposição de . Obtemos o grafo transposto , tal que e
Observe que essa operação de transposição o grafo simétrico obtém um grafo idêntica ao , pois, e .